近似曲線の求め方～三角関数の二乗～

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はじめに

$y=a+bx$

のような関数は微・積分が非常に楽で最小二乗法で面倒な作業計算を必要としない。

$y=a\cos\{x+b\}+c$

上の三角関数を含むような式における最小二乗法は微・積分によって $\sin$ と $\cos$ を繰り返すため計算が煩雑になる。偏光実験における近似曲線の求め方を備忘録として記録した。関数は以下の関数だ。

$y=a\cos^2{\{x+b\}}+c$

パラメータの導出

$y=A\cos2x-B\sin2x+C\cdots①$ とすると、
$A=\frac{a}2\cos2b$ 、 $B=\frac{a}2\sin2b$ 、 $C=\frac{a}2+c\cdots②$ となり
$a=\pm2\sqrt{A^2+B^2}$ 、 $b=\frac1 2\tan^{-1}\frac{B}A$ 、 $c=C-\frac a 2\cdots③$ となる。
ここの式変形は倍角の公式やらを駆使すればできる。ぜひ自分の手で解いてみてほしい。

さらに、

$f(x)=\cos2x$ 、 $g(x)=\sin2x$ 、 $h(x)=1$ とすると、

$y=Af(x)-Bg(x)+Ch(x)$ となる。
ここまでくれば， $\sin$ や $\cos$ が出てこないので，後は3変数の最小二乗法をやるだけである．

$S=\sum^{i=-90}_{i=90}\{y_i-(Af(x_i)-Bg(x_i)+Ch(x_i))\}^2$ が最小となるA、B、Cを求める。

$\frac{\partial S}{\partial A}=-2\sum^{i=-90}_{i=90}\{y_i-(Af(x_i)-Bg(x_i)+Ch(x_i))\bullet f(x)\}=0$
$\frac{\partial S}{\partial B}=-2\sum^{i=-90}_{i=90}\{y_i-(Af(x_i)-Bg(x_i)+Ch(x_i))\bullet g(x)\}=0$
$\frac{\partial S}{\partial C}=-2\sum^{i=-90}_{i=90}\{y_i-(Af(x_i)-Bg(x_i)+Ch(x_i))\bullet h(x)\}=0$

$\sum f(x)=[f]、\sum \{g(x)\bullet f(x)\}=[gf]$ のように簡易的に書き示すと、

$\frac{\partial S}{\partial A}=[fy]-A[f^2]+B[fg]-C[hf]=0$
$\frac{\partial S}{\partial B}=[gy]-A[fg]+B[g^2]-C[hg]=0$
$\frac{\partial S}{\partial C}=[hy]-A[fh]+B[gh]-C[h^2]=0$ となり、この三式の行列を解けばABCが求まる。