冬課題の解法

移転しました。

リダイレクトします。

はじめに

基礎物理学実験の冬休み課題の解法を解説する。

1-1

問題
$y = ax^b$
係数、それぞれの平均誤差を求める式を示せ。

解法
元の形のままでは $x$ の項に $b$ があるため、最小二乗法をすることが出来ない。そこで、対数を取ることで肩の文字を下し、一次式に置き換える。
$\begin{align} \log{y}&=\log{(ax^b)}\\ &=\log{a}+b\log{x} \end{align}$

各項を $Y,A,B,X$ に置き換える。
$Y=A+BX$
$\begin{align} Y&=\log{y}\\ A&=\log{a}\\ B&=b\\ X&=\log{x} \end{align}$

一次式が得られ、最小二乗法が行える。ここから最小二乗法を行う。
$S=\sum_{i=1}^{n}{\{Y_i-(A+BX_i)\}}$ が最小になる値 $A,B$ を決定する。
$S$ を $A,B$ でそれぞれ偏微分し、それを0にすると最小となる。
$\begin{align} \dfrac{\partial{S}}{\partial{A}}&=-\sum_{i=1}^{n}{\{Y_i-(A+BX_i)\}}=0\\ \dfrac{\partial{S}}{\partial{B}}&=-\sum_{i=1}^{n}{X_i\{Y_i-(A+BX_i)\}}=0 \end{align}$

$\sum{Y_i}=[Y]$ のように示すと、
$\begin{align} A&=\frac{[Y][X^2]-[XY][X]}{n[X^2]-[X]^2}\\ B&=\frac{n[XY]-[Y][X]}{n[X^2]-[X]^2} \end{align}$

またその平均誤差は、
$\sigma{[Y]}=\sqrt{\frac{[Y^2]-A[Y]-B[YX]}{n-2}}$
誤差伝搬法で、 $A,B$ の誤差は以下のように求まる。

$\begin{align} \sigma{A}&=\sqrt{\left(\dfrac{\partial{A}}{\partial{[Y]}}\right)^2\left(\sigma{[Y]}\right)^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \sigma{B}=\sqrt{\left(\dfrac{\partial{B}}{\partial{[Y]}}\right)^2\left(\sigma{[Y]}\right)^2}\\ &=\sigma{[Y]\frac{[X^2]}{n[X^2]-[X]^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sigma{[Y]\frac{n}{n[X^2]-[X]^2}} \end{align}$

まとめて表すと、
$A=\frac{[Y][X^2]-[XY][X]}{n[X^2]-[X]^2}\pm\sigma{[Y]\frac{[X^2]}{n[X^2]-[X]^2}}$
$B=\frac{n[XY]-[Y][X]}{n[X^2]-[X]^2}\pm\sigma{[Y]\frac{n}{n[X^2]-[X]^2}}$

ここで、
$A=\log{a}\ \ \ \ \ B=b\\ \therefore a = e^{\frac{A}{B}}\ \ \ \ b=B$
また、それらの誤差は誤差伝搬法より、
$\sigma a=\sqrt{\left(\dfrac{\partial{a}}{\partial{A}}\right)^2\left(\sigma{A}\right)^2+\left(\dfrac{\partial{a}}{\partial{B}}\right)^2\left(\sigma{B}\right)^2}$

$\sigma b=\sqrt{\left(\dfrac{\partial{b}}{\partial{A}}\right)^2\left(\sigma{A}\right)^2+\left(\dfrac{\partial{b}}{\partial{B}}\right)^2\left(\sigma{B}\right)^2}$

この後は偏微分するだけなのでぜひ自分で手を動かして答えを導いてほしい。

物理の空き地　by M.E_K

日々の学び、感じたことを書いております。ブログ移行中->https://physics-mek.com

はじめに

1-1